阶跃函数

定义

选定一个函数序列$γ_n(t)$ ,求极限。

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因此,我们对阶跃函数作如下定义:

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性质

  1. 表示分段常量信号

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  2. 表示信号的作用区间

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  3. 积分

冲激函数

定义

单位冲激函数:是奇异函数,它是对强度极大,作用时间极短的物理量的理想化模型(狄拉克提出)。

理解: 高度无穷大,宽度无穷小,面积为1的对称窄脉冲。
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冲激函数与阶跃函数的关系

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作用

冲激函数可以描述间断点的导数

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冲激函数的广义函数定义

广义函数定义

  • 普通函数$y=f(t)$: 是将一维实数空间的数$t$经过$f$所规定的运算射为一维实数空间的数$y$。
  • 广义函数$N_g[\phi(t)]$: 选择一类性能良好的函数$\phi(t)$作为检验函数(相当于自变量),一个广义函数$g(t)$对检验函数空间中的每个函数$\phi(t)$赋予一个数值$N$的映射,记为:

广义函数与普通函数的对应关系

冲激函数的广义函数定义

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冲激函数$δ(t)$作用于检验函数$φ(t)$的结果是赋值为$φ(0)$,称为冲激函数的取样性质。简言之,能从检验函数$φ(t)$中筛选出函数值φ(0)的广义函数就称为冲激函数$δ(t)$。

冲激函数的取样性质

$f(t)乘以δ(t)$

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注意:积分区间要包含冲激所在的时刻t=0。

$f(t)乘以δ(t-a)$

注意:积分区间要包含冲激所在的时刻 t =a.

冲激函数的导数

$δ’(t)$ (也称冲激偶)

$\delta’(t)$的定义: