数学模型1——椅子放平问题

问题提出

把椅子放在凹凸不平的地上,通常只有三只脚着地,但是当我们反复挪动椅子,就可以使得其四腿着地,放稳了。这个现象如何用数学模型验证呢?

模型假设

  • 四条腿必须一样高,凳子腿和地面接触的地方可以视为一个点,四条腿连线呈正方形。
  • 地面高度是连续变化的,不存在断面,也就是说地面可以视为数学中的光滑曲面。
  • 地面相对平坦,不存在深坑,使得不可能立好。

模型构成

我们可以把椅子的中间视为旋转轴,把旋转的角度设为$\theta$,那么我们不妨设相对的两个凳子腿的和分别为$f(\theta)$和$g(\theta)$,那么我们显然知道,四个腿离地的距离$f_1(\theta),f_2(\theta),g_1(\theta),g_2(\theta)\ge0$,而且根据我们的假设,有三个腿是着地的,也就意味着,至少有3个是$0$,因此,不妨设$g(\theta)=0$那么$f(\theta)>0$,同样的,我们把椅子旋转90度,那么就有$g(\frac\pi 2)>0;f(\frac{\pi}{2})=0$,根据这些信息,我们能得到对应的方程组。

解模型

这里我们不妨设$\phi(\theta)=f(\theta)-g(\theta)$,当$\theta=0$时,$\phi(\theta)>0,\phi(\frac{\pi}{2})<0$,因此我们很容易证明存在$\theta_0$,使得$\phi (\theta_0)=0$,也就意味着

同时,我们知道,至少有三个腿着地,也就意味始终存在$\eta$使得

也就意味着存在$\theta=\eta_0$,使得

所以,当$\theta=\eta_0$时,四腿着地,假设得证。

数学模型2——商人过河问题

问题提出

三个商人各带一个随从乘船渡河,一只小船只能容纳两人,由他们自己划行。随从们密约,在河的一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货。目前如何乘船渡河的大权掌握在商人手中,商人们怎样才能安全渡河呢?
该模型无需假设直接建立模型即可
本模型无MATLAB验证暂时无解,等待更新