数学建模的步骤

引例:家庭包汤圆过元宵节问题

通常1公斤馅包100个汤圆,今天1公斤的面不变,但是馅比1公斤多了。问:在汤圆的厚度不变的情况下,是应该多包几个汤圆(每个汤圆包小一些,总数超过100个汤圆),还是少包几个(每个汤圆大一些,总数少于100个汤圆),刚好把面和馅用完?

第一步:问题的提出

将实际问题翻译成数学问题

经验介绍

  • 要将问题加以分解,分几个层次或部分
  • 必要时先学习背景知识
  • 预先判断即将建立什么模型

包汤圆问题的分析
归结为数学上的面积和体积问题

数学问题:

圆面积为$S$的一个皮,可以包成体积为$V$的汤圆。如果将它分成$n$个皮,每个圆的面积为$s$,包成的体积为$v$,则$V$和$nv$哪个大呢?

第二步:量的分析

把所有的量列出来

经验介绍

  • 首先要分清楚量的类型
  • 其次要说明哪些是主要量,哪些是次要量
  • 再次,分清量之间的关系
  • 为了建立的模型的可读性,确定了量之后,最好用字母进行表示,一般处理大型问题的论文中,需要对量的设置单列一项符号说明。

符号说明:

$R$:大皮的半径;$r$:小皮的半径。

第三步:模型的假设

两个目的

  1. 为了问题的规范化,模型的严密性
  2. 简化问题

经验介绍

略去枝节,保留主干,深刻认识后再添加枝叶;斩断一些关系,分割成几个小问题。

模型假设:

  1. 皮的厚度一样
  2. 汤圆形状一样,是球形
  3. 每种包法汤圆的大小一样

第四步:模型建立

建模方法

  1. 机理分析法
  2. 系统辨识建模法
  3. 仿真建模法
  4. 相似类比法

经验介绍

  1. 根据变量类型选择数学工具
  2. 原则:采用尽量简单的数学工具

模型建立:

$S=ns$

$s=k_1r^2,v=k_2r^3$

$S=k_1R^2,V=k_2R^3$

$k_1,k_2$为常数

第五步:模型求解

求解方法:解方程,图解,数学证明,定理证明,统计分析等等。

经验介绍

求解过程中,有时需要对模型进行不断的修改,也可能对求解方法不断更新,都是为了拿到更好的结果。

模型求解

$V=kS^\frac32,v=ks^\frac32,k$是常数

从而$V=\sqrt nnv>nv,n\ge2$

所以为了包更多的馅,应该包大,少包一些。

第六步:结果分析

  • 对结果进行误差分析,统计分析;
  • 解释结果对实际问题的意义;
  • 对模型参数进行灵敏度分析;
  • 解释参数在实际问题中的作用;
  • 对假设的强健性进行分析;
  • 对变量之间的依赖性、稳定性进行分析;
  • 对模型进行评价、优化、甚至重新建模。

本题暂时不需要进行结果分析

第七步:模型检验

把求解的结果翻译到实际问题中,与实际现象、数据进行比较,以检验模型的合理性和适用性。

模型检验

对于包汤圆问题,我们已经在定性分析上解决了原问题,即应该包大少包几个。现在更进一步,进行定量分析,如果100个汤圆可以包1$kg$馅,那么50个汤圆可以包多少馅呢?

100是50的2倍,所以$n=2$

大汤圆包的体积是小汤圆体积的$\sqrt2$倍,所以能包大约$1.4kg$的馅。

第八步:模型的应用

模型的应用是数学建模的宗旨。一个好的模型或者方法,不光可以解决目前的实际问题,还应该在更广阔的空间有着更加广泛的应用。

包汤圆问题模型的推广

市场上的牙膏、香皂和洗发精等日用品,同一种品牌一般有大小不同的包装,你是选择大包装还是小包装才更加实惠呢?

数学建模论文框架

  • 标题摘要部分
  1. 题目:写出较确切的题目(不能只写AB题)。
  2. 摘要:1000字左右(标题、摘要、关键词合起来一个页面)包括研究的内容、模型的主要特点、建模方法和主要结果。
  3. 关键词(3-5个)
  • 问题的重述(研究背景、研究意义)
  • 模型的假设
  • 符号说明
  • 模型的建立和求解(中心部分)
  1. 问题提出,问题分析。
  2. 模型建立(补充假设条件、明确概念、引进参数;模型形式)
  3. 算法设计与模型求解
  4. 模型检验
  5. 结果分析
  6. 讨论模型的优缺点、改进方向、推广新思想
  7. 参考文献
  8. 附录